Caractérisation des nombres réels

P roposition  

Soit  `z` un nombre complexe.

On a  \(\begin{align*} z \in \mathbb{R} \ \ \Longleftrightarrow \ \ \text{Im}(z)=0 \ \ \Longleftrightarrow \ \ \overline{z}=z. \end{align*}\)

Démonstration

La première équivalence provient de la définition précédente.
Pour la deuxième équivalence, on rappelle que \(\text{Im}(z)=\dfrac{z-\overline{z}}{2i}\) et donc 
\(\begin{align*} \text{Im}(z)=0 & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \frac{z-\overline{z}}{2i}=0 \ \ \Longleftrightarrow \ \ z-\overline{z}=0 \ \ \Longleftrightarrow \ \ \overline{z}=z. \end{align*}\)